El lógico polaco Jan Łukasiewicz es considerado uno de los mayores innovadores de la lógica en el siglo XX, y también destacado pionero en la construcción de los lenguajes de la computación. Su lógica llamada “trivalente” representa uno de los pasos más importantes de la racionalidad humana en la época contemporánea.
Łukasiewicz nació en 1878 en la ciudad de Lviv, en el oeste de la actual Ucrania, cuando la ciudad se llamaba Lemberg (Lwów) y era parte de Austro-Hungría. Estudió matemática y filosofía en la Universidad de esa ciudad y en las de Varsovia, Berlín y Lovaina. Es profesor en 1906 y Ministro de Educación de Polonia en 1919. Sus obras más conocidas son Sobre el principio de contradicción en Aristóteles (1910), Sobre la lógica de tres valores (1920), La silogística de Aristóteles desde el punto de vista de la lógica formal moderna (1951) y Un sistema de lógica modal (1953). Integra la influyente escuela de lógica y filosofía Lwów-Varsovia junto a A. Tarski, K. Twardowski y S. Lesńievski, y es el creador de la lógica trivalente. Pasó a vivir en Alemania cuando su casa fue destruida en 1939 por los nazis; al finalizar la guerra emigró a Bélgica y en 1946 a Dublín donde vivió hasta su muerte en 1956.
Bien se sabe que la matemática y la lógica son menos populares que la historia, la sociología, la psicología, la antropología y hasta la filosofía. En general, es algo mayor el interés por las llamadas “humanidades” que por las ciencias como la biología, la física, la química, la cosmología, etcétera. Sin embargo, todas estas disciplinas son igualmente humanas si las entendemos como el fruto de una labor en la que concurren el trabajo, la vocación, el estudio, la experimentación, la abnegación, en fin, todo lo que es propio e imprescindible para ejercer cualquier oficio manual o intelectual o que requiera la destreza en ambos planos.
La matemática se aplica diariamente en sus grados más elementales en la vida de prácticamente todas las personas. Cuando las demandas son grandes y los cálculos se vuelven difíciles intervienen los entendidos, profesionales matemáticos que se desempeñan de manera parecida en su especialidad a como lo hacen los médicos, abogados, arquitectos, antropólogos, químicos y físicos. Los ingenieros en sus distintas ramas son quienes cubren esa demanda, en general. Sin embargo, no se consulta masivamente a los lógicos como a ellos, no tienen bufetes, estudios, oficinas ni consultorios que atiendan la demanda de clientes o pacientes. En cierta forma es una lástima que no se pueda consultar a un lógico como a un médico o a un escribano, aunque no se sepa qué resultaría.
DE QUÉ SE OCUPA LA LÓGICA
La lógica es tan abstracta, una ciencia tan por encima de todo lo práctico, sin vínculos notorios con la vida de las personas, que durante siglos ni se pensó en ponerla un poco más al alcance de la gente. Apenas se estudia en Secundaria y para conocerla a fondo es preciso ir a la Universidad. De historia todos sabemos algo, de psicología, de abogacía, de biología. Pero apenas tenemos una idea de nociones como la contradicción, la identidad, la negación, la implicación. Conocemos estos conceptos y los manejamos en la vida diaria, pero no siempre desde el estricto punto de vista lógico. Porque, como enseguida veremos, en la vida diaria no funcionan como en la teoría.
Hay una lógica filosófica que se expone mediante el lenguaje corriente, otra llamada formal que se expresa mediante símbolos especiales, y una lógica que se ocupa de los modos de la verdad y la falsedad. Todas se conciben en torno a las operaciones con que razonamos, la forma como construimos los pensamientos o aplicamos relaciones entre ellos. Es habitual que queramos atribuir una propiedad o una cualidad a algo, decir que algo es tal cosa o tiene tal otra, que le pasa algo o que hace algo, en fin, que alguien desea algo, da o recibe algo de determina manera, en cierto momento o lugar, etcétera, y muchas otras posibilidades. No se trata sino de atribuir un predicado a un sujeto, de pedir al verbo que ejecute su prodigiosa flexión por la que se expide la inteligencia humana. Por ejemplo: “sale el sol”, “Juan es músico”, “mi amigo está enfermo y tiene fiebre”, “obsequié una flor a mi madre y la recibió con cariño”.
La lógica busca establecer ciertos modelos de razonamiento que llama inferencias, despreocupándose de si son falsos o verdaderos en relación a la realidad a la que se refieren. Para eso está la ciencia que se ocupa de la realidad de las cosas y de los hechos, la disciplinas llamadas “fácticas”, “experimentales”, “naturales” o “empíricas”. Cualesquiera sean esas cosas y esos hechos, la lógica no se interesa por cómo son en realidad, de si tienen propiedades o cualidades o no las tienen o si existen o no existen. Sólo se interesa por la forma en que al discurrir y al razonar relacionamos esas cosas y hechos entre sí para explicarnos, comunicarnos, dialogar, argumentar, demostrar tal o cual tesis, debatir o lo que sea.
Busca modelos o pautas de razonamiento que puedan servir como normas o reglas fijas o instrumentos con la suficiente legitimidad lógica para derivar la verdad o la falsedad. Se refiere a la verdad o a la falsedad de las proposiciones (u oraciones) y de cómo de ellas puede derivarse la verdad o la falsedad de otras proposiciones, pero no de la realidad a la que se refieren. Puede ser una casa, un animal, una estrella o un fantasma, pero se interesa sólo por establecer cuándo una serie de pasos en el razonamiento conduce sin error a un final en que se pueda confiar, es decir, a una conclusión con verdad o falsedad.
Dentro de esta lógica de proposiciones se distingue la llamada lógica modal. Es oportuno distinguir entre “lógica de la verdad” y “lógica modal”, que responden respectivamente a conceptos o categorías de verdad y a conceptos o categorías modales. “A veces consideramos los modos en los cuales una proposición es (o no) verdadera. Se dice que una proposición es necesaria, contingente o posiblemente verdadera. A veces consideramos en qué modo una propiedad está presente (o ausente) en una cosa.” (von Wright, 1970, 15-16). También, “el modo o manera en la cual unas proposición es o no verdadera” (ib., 27), “el modo o la manera en la cual una proposición se conoce o no como verdadera” (ib., 55) y, aun, “el modo o la manera en que se nos permite o no realizar un acto” (ib., 65).
Se trata de los modos o maneras en que las proposiciones sugieren planos ontológicos que influyen sobre los de la expresión lógica, de manera parecida a como los adverbios especifican el modo en que se realiza lo predicado por el verbo. Aristóteles ya había reconocido las diferencias en la predicación, cómo una cosa puede relacionarse con otra de manera simple, necesaria o posible (Abbagnano, v. “modalidad”). En lo sucesivo la lógica modal se ocupó de lo necesario o contingente, de lo posible o imposible, de lo prohibido o permitido, de lo obligatorio o no obligatorio; así, la verdad o la falsedad de una proposición se resuelve en la modalidad. Estos preliminares son suficientes para poder apreciar en pleno la innovación de Łukasiewicz.
LA GRAN INNOVACIÓN DE ŁUKASIEWICZ
En cierto sentido se trata de un descubrimiento, porque lo que mueve el interés del lógico polaco es la necesidad de adaptar el funcionamiento de la lógica a lo que se capta de la realidad y puede juzgarse como verdadero o falso. Pero no en tanto la realidad pueda ser verdadera o falsa, sino en tanto lo que se dice sobre ella resulte verdadero o falso de acuerdo a como se construyan las proposiciones. Quiere achicar la distancia entre la realidad y lo que se pueda juzgar sobre ella, las formas de razonar habituales y aquello sobre lo cual se razona. Quiere contribuir en que la lógica pueda ser una ciencia menos alejada de las personas y menos desconectada de la realidad.
¿En qué consiste el aporte de Łukasiewicz? Se sabía antes de él, y desde los tiempos más antiguos, que las fórmulas de la lógica no son capaces de abarcar todas las operaciones racionales de la inteligencia humana, así como por ejemplo la física no es capaz de rendir cuenta de todos los hechos del universo o la psicología de todos los fenómenos psíquicos. Por otra parte, la lógica no es exactamente “la ciencia del pensamiento”, como se ha observado. Debe distinguirse entre la verdad de un hecho y la verdad de la proposición que describe el hecho dicha por alguien sometido a “determinadas condiciones fisiológicas, educativas y morales”. Por lo que el objeto propio de la lógica es la verdad “formal” y no la de “los hechos” (Cohen, 1957, 15).
Los lógicos no habían dado el paso fundamental de aumentar los valores de verdad (o valores veritativos) en la lógica, como Einstein lo hizo incluyendo la noción de relatividad en la física, o como Freud al incorporar el dominio del inconsciente en la psicología. Autores como Charles S. Peirce o Emil L. Post de alguna forma lo intentaron, pero a Łukasiewicz se le ocurrió que algunos acontecimientos futuros son contingentes, que pueden ocurrir o no. Por lo tanto, “una proposición acerca de tales eventos enunciada hoy no puede ser ni verdadera ni falsa, y por lo tanto ha de tener un valor de verdad diferente de 1 y 0. Sobre la base de esta idea [afirma…] construí en 1920 un sistema trivalente de lógica modal, desarrollado posteriormente en un artículo de 1930” (Łukasiewicz, 1977, 137). Pensaba, como lo explican William y Martha Kneale, en un valor de verdad que podría expresar con el número ½ (Kneale, 1980, 529).
Se ha dicho que la solución de Łukasiewicz referida a los “futuros contingentes” ya se encuentra en Aristóteles, en Diodoro Crono y en la discusiones medievales acerca de la omnisciencia de Dios (Haack, 1980, 82), y que no es del todo satisfactoria. De todos modos, el problema de la verdad en su relación con el futuro, que pudo inspirar a Łukasiewicz, tiene que ver más con el problema de la verdad en el presente que con la verdad en el futuro (aunque para el futuro de la lógica fue primordial). Además, el problema es del todo interesante puesto que el tercer valor de verdad o “valor intermedio” tiene más peso como antecedente de la lógica divergente y que facilitó la computación que como antecedente de la lógica del tiempo, en la que la verdad depende de los “ahora” y de los momentos en que se profieren las proposiciones.
Łukasiewicz incorporó la notoria e inaprehensible dimensión de la realidad empírica nunca refleja en la lógica, ciencia abstracta construida en base a axiomas o principios exonerados de la necesidad de demostración. Aproximó lo abstracto a lo concreto, lo axiomático a lo fáctico, la irrealidad a la realidad, y logró que la lógica llegara a representar no sólo la oposición entre lo verdadero y lo falso, en sus fundamentos axiomáticos (idealidad abstracta, incondicional, indiscutible para los lógicos), sino también lo verdadero y lo falso en sus grados intermedios, los términos medios con que todos nos topamos en la vida real. Asimismo, en el sistema modal de Łukasiewicz aparecen “sentidos de posibilidad y necesidad” distintos de los habituales, en el cual esos valores llevan “al límite de lo que pudiéramos considerar en algún modo lógica modal” (Hughes y Cresswell, 1973, 254).
De manera que abrió una puerta más para la lógica modal, pero de tal importancia que pasó a llamarse “lógica trivalente”, dando lugar a desarrollos más tarde conocidos como “lógicas polivalentes”. Este hecho vino a conmover las bases del determinismo filosófico o, por lo menos, a sostener que es posible defender el indeterminismo con fundamentos tan justificados como los del determinismo. Que no hay un sistema ya cifrado de antemano, ni por los dioses ni por la naturaleza, o que, si lo hay, es tan discutible como lo es si se diera como ley suprema en la historia del universo.
No es necesario presentar las fórmulas de esta lógica inusitada, que conmueve a los más grandes lógicos del siglo XX, entre ellos a Bertrand Russell, junto a Alfred Whitehead el autor en el siglo XX del tratado de lógica quizá más importante después del de Aristóteles, del siglo IV antes de Cristo. Es suficiente con apreciar en qué consiste la nueva relación incorporada que termina por humanizar a esta ciencia de solo símbolos y algoritmos inextricables para los inexpertos, pero tan importantes en la evolución de la ciencia y la tecnología. Sería suficiente con adelantar que gracias a esta innovación pudo evolucionar todo lo que se refiere a la posibilidad de perfeccionar al máximo los lenguajes artificiales, aquellos que hicieron posible la construcción de computadoras y de adicionar sus programas a los artefactos que se utilizan en la vida práctica para mejorar e incluso salvar la vida de las personas, y también en las herramientas con las que se exploran las dimensiones demasiado grandes o demasiado pequeñas del universo.
Łukasiewicz permitió que en las inferencias lógicas se registraran no solo los valores de verdad o falsedad absolutos, sino también los grados intermedios entre ellos, con lo que amplió el campo de la lógica. Y también el campo normativo, aunque volviéndolo más plástico y por tanto con una real posibilidad de aplicación en el trato con los hechos. La lógica empieza a reconocer que “nada es del todo blanco o del todo negro en el universo”, y que puede expedirse respecto a los estados en que la energía no se presenta en total equilibrio o en total desequilibro, en completo orden o en completo caos; en que la vida no responde sólo a impulsos fisiológicos ni sólo a impulsos psicológicos; en fin, en que, si existen formas intermedias y extraordinarias entre lo orgánico y lo inorgánico, fueren elefantes o protozoarios, galaxias o nebulosas, ¿por qué semejante evidencia no habría de reflejarse en una ciencia tan fundamental para la inteligencia humana?
Ninguna persona es buena del todo ni mala del todo, del todo inteligente o del todo tonta, y la vida de los seres humanos no es del todo feliz ni del todo desgraciada. Se puede clasificar de acuerdo a escalas de variedad de colores, no sólo de verdad o falsedad como extremos opuestos, de necesidad o contingencia, de posibilidad o imposibilidad. También se puede clasificar cuando la verdad es un poco menos verdadera o la falsedad un poco menos falsa. Cuando lo imposible ya no se presenta como camino prohibido o infranqueable, sino como probabilidad con cierto grado de posibilidad en el plano de la realidad, y cuando esta alternativa es una esperanza no solo en el orden mundano de la vida sino también en la de la ciencias médicas, en las obras de ingeniería, en la exploración del espacio o del mundo cuántico.
OTROS APORTES DESTACADOS
La lógica de Aristóteles se basa en el silogismo, palabra griega que quiere decir “reunión”, “cuenta”, “cálculo” y también “conjetura”. Es una agrupación de “términos” u oraciones de sujeto y predicado llamadas “premisas”. Veamos un ejemplo: si todas las plantas de hoja ancha son caducas (1ª premisa), y todas las parras son plantas de hoja ancha (2ª premisa), entonces, se concluye que todas las parras son caducas (Aristóteles, 1931, Segundos Analíticos, Libro II, cap. 16, § 4, p. 212). Cada premisa, pues, contiene dos términos que Aristóteles escribe con letras (o variables), de modo que puedan representar cualquier oración.
Los lógicos actuales ya no se atienen a las premisas con términos de sujeto y predicado. Distinguen sujetos con letras minúsculas, y predicados con letras mayúsculas, de modo que en vez de oraciones se valen de funciones, parten de que, por ejemplo, si x es un perro, entonces x cumple la propiedad P, la propiedad de tener cuatro patas. Otro ejemplo: si x es Pedro, y F es “corre”, se escribe F (x) o x cumple F, lo que equivale a “Pedro corre”. Una letra minúscula representa una oración, así “x” quiere decir “x es un perro”, o “x es Pedro”, por lo que no son necesarios los términos. Y se dice que x es verdadera o falsa, sin necesidad de silogismos. La expresión “p implica q”, por ejemplo, en lógica de proposiciones quiere decir que x tiene el mismo valor de verdad (o falsedad) que q. En la fórmula “p o q” se expresa que p es verdadera o lo es q, pero no ambas. En cambio, en “p y q” se expresa que ambas son verdaderas (o falsas). Etcétera.
Cuando el cálculo lógico contiene desarrollos largos y complejos, el lenguaje de la lógica, o “notación lógica”, exige emplear paréntesis, como en matemáticas, con el fin de precisar “la extensión de la expresión”, es decir, aquellos sujetos sobre los cuales recae tal y cual propiedad. Los más destacados lógicos, como Peano, Russell y Whitehead, Hilbert, redujeron el uso de paréntesis permitiendo facilitar la notación. Fue Łukasiewicz quien logró con su particular notación eliminarlos del todo (Kneale, 1980, 483). No obstante, se ha señalado que en la práctica “los paréntesis son mucho más iluminadores” (Quine, 1981, 49).
Del conjunto de estas fundamentales aportaciones el lógico polaco surge como la figura que revoluciona la lógica formal, ampliando sus posibilidades modales hasta despejar el horizonte que conducirá a las lógicas llamadas “divergentes”. Estas lógicas se manejan no ya con valores intermedios determinados, como en el caso de las lógicas polivalentes, sino con estados intermedios cualesquiera, vale decir, con aproximaciones a los valores de verdad o falsedad, necesidad o contingencia, prohibido o permitido, etcétera. Se valida cierta indeterminación o borrosidad que es la que se comprueba en cualquier observación empírica, mental o espiritual. Y ya no habrá números, 1, 0, ½, sino aproximaciones como las que sugieren palabras: poco, un poco menos, un poco más, mucho, algo más, más o menos, etcétera.
De esta manera la lógica comienza a relacionarse más estrechamente con la inteligencia humana en todo su esplendor, es decir, mediante el total de sus recursos. No sólo en los estrictos márgenes de la razón en sus aspectos cuantificables, canonizada por leyes y reglas, sino también ampliándose en dirección de los demás recursos cognoscitivos, intuitivos, inductivos, retroductivos, incluso en lo que se refiere a la imitación, la metáfora, la comparación, que anteriormente quedaban al margen de la operatividad lógica.
Contemporáneo al gran sacudimiento que experimenta la lógica en el siglo XX, que marca el definitivo fin de la lógica aristotélica, se produce otro hecho asombroso. Aristóteles fue el maestro de los megáricos, oriundos de la ciudad de Megara en la costa del Ática y frente al golfo de Egina, y de los estoicos, llamados así porque Zenón de Citio, fundador de la escuela, enseñaba en la Estoa Poikile, o pórtico pintado que se ubicaba al norte del ágora de Atenas. Pero ellos ya habían modificado la lógica aristotélica y convertido en una lógica de proposiciones. Este hecho, ignorado durante siglos, es revelado por Łukasiewicz para poner fin a una leyenda que se mantuvo durante más de veinte siglos.
En 1934 Łukasiewicz presentó unos estudios de historia de la lógica en los que se revela la lógica de los griegos antiguos en su correcta interpretación. A principios del siglo IV a. C. y en el siguiente los megáricos (Eubúlides, Diodoro, Filón), y quienes aprendieron de ellos, los estoicos (Zenón, Crisipo), desarrollaron una avanzada lógica de proposiciones. Łukasiewicz fue el primero en apreciar la riqueza de estos antecedentes (Bocheński, 1976, 117). Se trata del descubrimiento por el cual se establece que los megáricos estuvieron muy cerca de la lógica actual moderna, lo que no se puede decir de Aristóteles.
En la Edad Media los lógicos “denominaron modales las proposiciones necesarias o posibles”, entre ellos tratadistas como Abelardo y Pedro Hispano (Abbagnano, v. Modalidad). En los tiempos modernos, los lógicos pasan primero a sugerir y muy pronto a establecer para la lógica un nuevo campo o universo. Definitivamente, esta ciencia se expande en una dirección que probablemente sea la que todas las ciencias quieren seguir, no sólo la de ampliarse para abarcar la mayor parte de problemas sino, fundamentalmente, la de ir desplazando las preguntas impropias y desafiar un orden de interrogantes nuevos y a la vez prometedores. La lógica modal de hoy, por más que esté sometida a permanentes especulaciones, se mantenga expuesta a variedad de cambios originales, a modificaciones y debates, augura una nueva perspectiva en el futuro de la inteligencia humana.
REFERENCIAS:
ABBAGNANO, Nicola (1991). Diccionario de filosofía, México, FCE.
ARISTÓTELES (1931). Lógica, Madrid, Espasa-Calpe.
BOCHEŃSKI, I. M. (1976). Historia de la lógica formal, Madrid, Gredos.
COHEN, Morris (1957). Introducción a la lógica, México, FCE.
HAACK, Susan (1980). Lógica divergente, Madrid, Paraninfo.
HUGHES, G. H. & CRESSWELL, M. J. (1973). Introducción a la lógica modal, Madrid, Tecnos.
KNEALE, William y Martha (1980). El Desarrollo de la lógica, Madrid, Tecnos.
ŁUKASIEWICZ, Jan (1977). La silogística de Aristóteles, Madrid, Tecnos.
QUINE, W.V. (1981). Los métodos de la lógica, Barcelona, Ariel.
WRIGHT, Georg H. von (1970). Ensayo de lógica modal, Buenos Aires, Santiago Rueda.
Bien se sabe que la matemática y la lógica son menos populares que la historia, la sociología, la psicología, la antropología y hasta la filosofía. En general, es algo mayor el interés por las llamadas “humanidades” que por las ciencias como la biología, la física, la química, la cosmología, etcétera. Sin embargo, todas estas disciplinas son igualmente humanas si las entendemos como el fruto de una labor en la que concurren el trabajo, la vocación, el estudio, la experimentación, la abnegación, en fin, todo lo que es propio e imprescindible para ejercer cualquier oficio manual o intelectual o que requiera la destreza en ambos planos.
La matemática se aplica diariamente en sus grados más elementales en la vida de prácticamente todas las personas. Cuando las demandas son grandes y los cálculos se vuelven difíciles intervienen los entendidos, profesionales matemáticos que se desempeñan de manera parecida en su especialidad a como lo hacen los médicos, abogados, arquitectos, antropólogos, químicos y físicos. Los ingenieros en sus distintas ramas son quienes cubren esa demanda, en general. Sin embargo, no se consulta masivamente a los lógicos como a ellos, no tienen bufetes, estudios, oficinas ni consultorios que atiendan la demanda de clientes o pacientes. En cierta forma es una lástima que no se pueda consultar a un lógico como a un médico o a un escribano, aunque no se sepa qué resultaría.
DE QUÉ SE OCUPA LA LÓGICA
La lógica es tan abstracta, una ciencia tan por encima de todo lo práctico, sin vínculos notorios con la vida de las personas, que durante siglos ni se pensó en ponerla un poco más al alcance de la gente. Apenas se estudia en Secundaria y para conocerla a fondo es preciso ir a la Universidad. De historia todos sabemos algo, de psicología, de abogacía, de biología. Pero apenas tenemos una idea de nociones como la contradicción, la identidad, la negación, la implicación. Conocemos estos conceptos y los manejamos en la vida diaria, pero no siempre desde el estricto punto de vista lógico. Porque, como enseguida veremos, en la vida diaria no funcionan como en la teoría.
Hay una lógica filosófica que se expone mediante el lenguaje corriente, otra llamada formal que se expresa mediante símbolos especiales, y una lógica que se ocupa de los modos de la verdad y la falsedad. Todas se conciben en torno a las operaciones con que razonamos, la forma como construimos los pensamientos o aplicamos relaciones entre ellos. Es habitual que queramos atribuir una propiedad o una cualidad a algo, decir que algo es tal cosa o tiene tal otra, que le pasa algo o que hace algo, en fin, que alguien desea algo, da o recibe algo de determina manera, en cierto momento o lugar, etcétera, y muchas otras posibilidades. No se trata sino de atribuir un predicado a un sujeto, de pedir al verbo que ejecute su prodigiosa flexión por la que se expide la inteligencia humana. Por ejemplo: “sale el sol”, “Juan es músico”, “mi amigo está enfermo y tiene fiebre”, “obsequié una flor a mi madre y la recibió con cariño”.
La lógica busca establecer ciertos modelos de razonamiento que llama inferencias, despreocupándose de si son falsos o verdaderos en relación a la realidad a la que se refieren. Para eso está la ciencia que se ocupa de la realidad de las cosas y de los hechos, la disciplinas llamadas “fácticas”, “experimentales”, “naturales” o “empíricas”. Cualesquiera sean esas cosas y esos hechos, la lógica no se interesa por cómo son en realidad, de si tienen propiedades o cualidades o no las tienen o si existen o no existen. Sólo se interesa por la forma en que al discurrir y al razonar relacionamos esas cosas y hechos entre sí para explicarnos, comunicarnos, dialogar, argumentar, demostrar tal o cual tesis, debatir o lo que sea.
Busca modelos o pautas de razonamiento que puedan servir como normas o reglas fijas o instrumentos con la suficiente legitimidad lógica para derivar la verdad o la falsedad. Se refiere a la verdad o a la falsedad de las proposiciones (u oraciones) y de cómo de ellas puede derivarse la verdad o la falsedad de otras proposiciones, pero no de la realidad a la que se refieren. Puede ser una casa, un animal, una estrella o un fantasma, pero se interesa sólo por establecer cuándo una serie de pasos en el razonamiento conduce sin error a un final en que se pueda confiar, es decir, a una conclusión con verdad o falsedad.
Dentro de esta lógica de proposiciones se distingue la llamada lógica modal. Es oportuno distinguir entre “lógica de la verdad” y “lógica modal”, que responden respectivamente a conceptos o categorías de verdad y a conceptos o categorías modales. “A veces consideramos los modos en los cuales una proposición es (o no) verdadera. Se dice que una proposición es necesaria, contingente o posiblemente verdadera. A veces consideramos en qué modo una propiedad está presente (o ausente) en una cosa.” (von Wright, 1970, 15-16). También, “el modo o manera en la cual unas proposición es o no verdadera” (ib., 27), “el modo o la manera en la cual una proposición se conoce o no como verdadera” (ib., 55) y, aun, “el modo o la manera en que se nos permite o no realizar un acto” (ib., 65).
Se trata de los modos o maneras en que las proposiciones sugieren planos ontológicos que influyen sobre los de la expresión lógica, de manera parecida a como los adverbios especifican el modo en que se realiza lo predicado por el verbo. Aristóteles ya había reconocido las diferencias en la predicación, cómo una cosa puede relacionarse con otra de manera simple, necesaria o posible (Abbagnano, v. “modalidad”). En lo sucesivo la lógica modal se ocupó de lo necesario o contingente, de lo posible o imposible, de lo prohibido o permitido, de lo obligatorio o no obligatorio; así, la verdad o la falsedad de una proposición se resuelve en la modalidad. Estos preliminares son suficientes para poder apreciar en pleno la innovación de Łukasiewicz.
LA GRAN INNOVACIÓN DE ŁUKASIEWICZ
En cierto sentido se trata de un descubrimiento, porque lo que mueve el interés del lógico polaco es la necesidad de adaptar el funcionamiento de la lógica a lo que se capta de la realidad y puede juzgarse como verdadero o falso. Pero no en tanto la realidad pueda ser verdadera o falsa, sino en tanto lo que se dice sobre ella resulte verdadero o falso de acuerdo a como se construyan las proposiciones. Quiere achicar la distancia entre la realidad y lo que se pueda juzgar sobre ella, las formas de razonar habituales y aquello sobre lo cual se razona. Quiere contribuir en que la lógica pueda ser una ciencia menos alejada de las personas y menos desconectada de la realidad.
¿En qué consiste el aporte de Łukasiewicz? Se sabía antes de él, y desde los tiempos más antiguos, que las fórmulas de la lógica no son capaces de abarcar todas las operaciones racionales de la inteligencia humana, así como por ejemplo la física no es capaz de rendir cuenta de todos los hechos del universo o la psicología de todos los fenómenos psíquicos. Por otra parte, la lógica no es exactamente “la ciencia del pensamiento”, como se ha observado. Debe distinguirse entre la verdad de un hecho y la verdad de la proposición que describe el hecho dicha por alguien sometido a “determinadas condiciones fisiológicas, educativas y morales”. Por lo que el objeto propio de la lógica es la verdad “formal” y no la de “los hechos” (Cohen, 1957, 15).
Los lógicos no habían dado el paso fundamental de aumentar los valores de verdad (o valores veritativos) en la lógica, como Einstein lo hizo incluyendo la noción de relatividad en la física, o como Freud al incorporar el dominio del inconsciente en la psicología. Autores como Charles S. Peirce o Emil L. Post de alguna forma lo intentaron, pero a Łukasiewicz se le ocurrió que algunos acontecimientos futuros son contingentes, que pueden ocurrir o no. Por lo tanto, “una proposición acerca de tales eventos enunciada hoy no puede ser ni verdadera ni falsa, y por lo tanto ha de tener un valor de verdad diferente de 1 y 0. Sobre la base de esta idea [afirma…] construí en 1920 un sistema trivalente de lógica modal, desarrollado posteriormente en un artículo de 1930” (Łukasiewicz, 1977, 137). Pensaba, como lo explican William y Martha Kneale, en un valor de verdad que podría expresar con el número ½ (Kneale, 1980, 529).
Se ha dicho que la solución de Łukasiewicz referida a los “futuros contingentes” ya se encuentra en Aristóteles, en Diodoro Crono y en la discusiones medievales acerca de la omnisciencia de Dios (Haack, 1980, 82), y que no es del todo satisfactoria. De todos modos, el problema de la verdad en su relación con el futuro, que pudo inspirar a Łukasiewicz, tiene que ver más con el problema de la verdad en el presente que con la verdad en el futuro (aunque para el futuro de la lógica fue primordial). Además, el problema es del todo interesante puesto que el tercer valor de verdad o “valor intermedio” tiene más peso como antecedente de la lógica divergente y que facilitó la computación que como antecedente de la lógica del tiempo, en la que la verdad depende de los “ahora” y de los momentos en que se profieren las proposiciones.
Łukasiewicz incorporó la notoria e inaprehensible dimensión de la realidad empírica nunca refleja en la lógica, ciencia abstracta construida en base a axiomas o principios exonerados de la necesidad de demostración. Aproximó lo abstracto a lo concreto, lo axiomático a lo fáctico, la irrealidad a la realidad, y logró que la lógica llegara a representar no sólo la oposición entre lo verdadero y lo falso, en sus fundamentos axiomáticos (idealidad abstracta, incondicional, indiscutible para los lógicos), sino también lo verdadero y lo falso en sus grados intermedios, los términos medios con que todos nos topamos en la vida real. Asimismo, en el sistema modal de Łukasiewicz aparecen “sentidos de posibilidad y necesidad” distintos de los habituales, en el cual esos valores llevan “al límite de lo que pudiéramos considerar en algún modo lógica modal” (Hughes y Cresswell, 1973, 254).
De manera que abrió una puerta más para la lógica modal, pero de tal importancia que pasó a llamarse “lógica trivalente”, dando lugar a desarrollos más tarde conocidos como “lógicas polivalentes”. Este hecho vino a conmover las bases del determinismo filosófico o, por lo menos, a sostener que es posible defender el indeterminismo con fundamentos tan justificados como los del determinismo. Que no hay un sistema ya cifrado de antemano, ni por los dioses ni por la naturaleza, o que, si lo hay, es tan discutible como lo es si se diera como ley suprema en la historia del universo.
No es necesario presentar las fórmulas de esta lógica inusitada, que conmueve a los más grandes lógicos del siglo XX, entre ellos a Bertrand Russell, junto a Alfred Whitehead el autor en el siglo XX del tratado de lógica quizá más importante después del de Aristóteles, del siglo IV antes de Cristo. Es suficiente con apreciar en qué consiste la nueva relación incorporada que termina por humanizar a esta ciencia de solo símbolos y algoritmos inextricables para los inexpertos, pero tan importantes en la evolución de la ciencia y la tecnología. Sería suficiente con adelantar que gracias a esta innovación pudo evolucionar todo lo que se refiere a la posibilidad de perfeccionar al máximo los lenguajes artificiales, aquellos que hicieron posible la construcción de computadoras y de adicionar sus programas a los artefactos que se utilizan en la vida práctica para mejorar e incluso salvar la vida de las personas, y también en las herramientas con las que se exploran las dimensiones demasiado grandes o demasiado pequeñas del universo.
Łukasiewicz permitió que en las inferencias lógicas se registraran no solo los valores de verdad o falsedad absolutos, sino también los grados intermedios entre ellos, con lo que amplió el campo de la lógica. Y también el campo normativo, aunque volviéndolo más plástico y por tanto con una real posibilidad de aplicación en el trato con los hechos. La lógica empieza a reconocer que “nada es del todo blanco o del todo negro en el universo”, y que puede expedirse respecto a los estados en que la energía no se presenta en total equilibrio o en total desequilibro, en completo orden o en completo caos; en que la vida no responde sólo a impulsos fisiológicos ni sólo a impulsos psicológicos; en fin, en que, si existen formas intermedias y extraordinarias entre lo orgánico y lo inorgánico, fueren elefantes o protozoarios, galaxias o nebulosas, ¿por qué semejante evidencia no habría de reflejarse en una ciencia tan fundamental para la inteligencia humana?
Ninguna persona es buena del todo ni mala del todo, del todo inteligente o del todo tonta, y la vida de los seres humanos no es del todo feliz ni del todo desgraciada. Se puede clasificar de acuerdo a escalas de variedad de colores, no sólo de verdad o falsedad como extremos opuestos, de necesidad o contingencia, de posibilidad o imposibilidad. También se puede clasificar cuando la verdad es un poco menos verdadera o la falsedad un poco menos falsa. Cuando lo imposible ya no se presenta como camino prohibido o infranqueable, sino como probabilidad con cierto grado de posibilidad en el plano de la realidad, y cuando esta alternativa es una esperanza no solo en el orden mundano de la vida sino también en la de la ciencias médicas, en las obras de ingeniería, en la exploración del espacio o del mundo cuántico.
OTROS APORTES DESTACADOS
La lógica de Aristóteles se basa en el silogismo, palabra griega que quiere decir “reunión”, “cuenta”, “cálculo” y también “conjetura”. Es una agrupación de “términos” u oraciones de sujeto y predicado llamadas “premisas”. Veamos un ejemplo: si todas las plantas de hoja ancha son caducas (1ª premisa), y todas las parras son plantas de hoja ancha (2ª premisa), entonces, se concluye que todas las parras son caducas (Aristóteles, 1931, Segundos Analíticos, Libro II, cap. 16, § 4, p. 212). Cada premisa, pues, contiene dos términos que Aristóteles escribe con letras (o variables), de modo que puedan representar cualquier oración.
Los lógicos actuales ya no se atienen a las premisas con términos de sujeto y predicado. Distinguen sujetos con letras minúsculas, y predicados con letras mayúsculas, de modo que en vez de oraciones se valen de funciones, parten de que, por ejemplo, si x es un perro, entonces x cumple la propiedad P, la propiedad de tener cuatro patas. Otro ejemplo: si x es Pedro, y F es “corre”, se escribe F (x) o x cumple F, lo que equivale a “Pedro corre”. Una letra minúscula representa una oración, así “x” quiere decir “x es un perro”, o “x es Pedro”, por lo que no son necesarios los términos. Y se dice que x es verdadera o falsa, sin necesidad de silogismos. La expresión “p implica q”, por ejemplo, en lógica de proposiciones quiere decir que x tiene el mismo valor de verdad (o falsedad) que q. En la fórmula “p o q” se expresa que p es verdadera o lo es q, pero no ambas. En cambio, en “p y q” se expresa que ambas son verdaderas (o falsas). Etcétera.
Cuando el cálculo lógico contiene desarrollos largos y complejos, el lenguaje de la lógica, o “notación lógica”, exige emplear paréntesis, como en matemáticas, con el fin de precisar “la extensión de la expresión”, es decir, aquellos sujetos sobre los cuales recae tal y cual propiedad. Los más destacados lógicos, como Peano, Russell y Whitehead, Hilbert, redujeron el uso de paréntesis permitiendo facilitar la notación. Fue Łukasiewicz quien logró con su particular notación eliminarlos del todo (Kneale, 1980, 483). No obstante, se ha señalado que en la práctica “los paréntesis son mucho más iluminadores” (Quine, 1981, 49).
Del conjunto de estas fundamentales aportaciones el lógico polaco surge como la figura que revoluciona la lógica formal, ampliando sus posibilidades modales hasta despejar el horizonte que conducirá a las lógicas llamadas “divergentes”. Estas lógicas se manejan no ya con valores intermedios determinados, como en el caso de las lógicas polivalentes, sino con estados intermedios cualesquiera, vale decir, con aproximaciones a los valores de verdad o falsedad, necesidad o contingencia, prohibido o permitido, etcétera. Se valida cierta indeterminación o borrosidad que es la que se comprueba en cualquier observación empírica, mental o espiritual. Y ya no habrá números, 1, 0, ½, sino aproximaciones como las que sugieren palabras: poco, un poco menos, un poco más, mucho, algo más, más o menos, etcétera.
De esta manera la lógica comienza a relacionarse más estrechamente con la inteligencia humana en todo su esplendor, es decir, mediante el total de sus recursos. No sólo en los estrictos márgenes de la razón en sus aspectos cuantificables, canonizada por leyes y reglas, sino también ampliándose en dirección de los demás recursos cognoscitivos, intuitivos, inductivos, retroductivos, incluso en lo que se refiere a la imitación, la metáfora, la comparación, que anteriormente quedaban al margen de la operatividad lógica.
Contemporáneo al gran sacudimiento que experimenta la lógica en el siglo XX, que marca el definitivo fin de la lógica aristotélica, se produce otro hecho asombroso. Aristóteles fue el maestro de los megáricos, oriundos de la ciudad de Megara en la costa del Ática y frente al golfo de Egina, y de los estoicos, llamados así porque Zenón de Citio, fundador de la escuela, enseñaba en la Estoa Poikile, o pórtico pintado que se ubicaba al norte del ágora de Atenas. Pero ellos ya habían modificado la lógica aristotélica y convertido en una lógica de proposiciones. Este hecho, ignorado durante siglos, es revelado por Łukasiewicz para poner fin a una leyenda que se mantuvo durante más de veinte siglos.
En 1934 Łukasiewicz presentó unos estudios de historia de la lógica en los que se revela la lógica de los griegos antiguos en su correcta interpretación. A principios del siglo IV a. C. y en el siguiente los megáricos (Eubúlides, Diodoro, Filón), y quienes aprendieron de ellos, los estoicos (Zenón, Crisipo), desarrollaron una avanzada lógica de proposiciones. Łukasiewicz fue el primero en apreciar la riqueza de estos antecedentes (Bocheński, 1976, 117). Se trata del descubrimiento por el cual se establece que los megáricos estuvieron muy cerca de la lógica actual moderna, lo que no se puede decir de Aristóteles.
En la Edad Media los lógicos “denominaron modales las proposiciones necesarias o posibles”, entre ellos tratadistas como Abelardo y Pedro Hispano (Abbagnano, v. Modalidad). En los tiempos modernos, los lógicos pasan primero a sugerir y muy pronto a establecer para la lógica un nuevo campo o universo. Definitivamente, esta ciencia se expande en una dirección que probablemente sea la que todas las ciencias quieren seguir, no sólo la de ampliarse para abarcar la mayor parte de problemas sino, fundamentalmente, la de ir desplazando las preguntas impropias y desafiar un orden de interrogantes nuevos y a la vez prometedores. La lógica modal de hoy, por más que esté sometida a permanentes especulaciones, se mantenga expuesta a variedad de cambios originales, a modificaciones y debates, augura una nueva perspectiva en el futuro de la inteligencia humana.
REFERENCIAS:
ABBAGNANO, Nicola (1991). Diccionario de filosofía, México, FCE.
ARISTÓTELES (1931). Lógica, Madrid, Espasa-Calpe.
BOCHEŃSKI, I. M. (1976). Historia de la lógica formal, Madrid, Gredos.
COHEN, Morris (1957). Introducción a la lógica, México, FCE.
HAACK, Susan (1980). Lógica divergente, Madrid, Paraninfo.
HUGHES, G. H. & CRESSWELL, M. J. (1973). Introducción a la lógica modal, Madrid, Tecnos.
KNEALE, William y Martha (1980). El Desarrollo de la lógica, Madrid, Tecnos.
ŁUKASIEWICZ, Jan (1977). La silogística de Aristóteles, Madrid, Tecnos.
QUINE, W.V. (1981). Los métodos de la lógica, Barcelona, Ariel.
WRIGHT, Georg H. von (1970). Ensayo de lógica modal, Buenos Aires, Santiago Rueda.
