LOS "PRINCIPIA MATHEMATICA"

 Transcurrieron cuarenta y cuatro años desde la edición española de los Principia Mathematica, obra cumbre de Alfred N. Whitehead y Bertrand Russell. El texto de 1903 pone a punto los avances de Boole, Frege, Dedekind, Peano, Cantor y otros lógicos, y se completa en 1910. Por primera vez en más de dos milenios la lógica de Aristóteles quedaba afuera, aunque sin perder su importancia histórica.

Los libros de lógica están escritos con símbolos (mejor sería decir signos especiales), por lo que la lógica suele llamarse lógica simbólica: “El empleo de signos especiales, en lugar de los símbolos más corrientes que son las palabras, se hace más bien por conveniencia práctica que por una necesidad lógica. No existe ninguna proposición en lógica o en matemática que no se pueda expresar, en último término, con palabras comunes […] Solo que, en la práctica, es imposible progresar mucho en matemática y en lógica sin hacer uso de símbolos apropiados, de la misma manera que es imposible ejercer el comercio en la actualidad sin cheques o sin libro de créditos, o construir puentes modernos sin herramientas especiales.” (Morris, 22) “Puesto que el lenguaje es engañoso, y puesto que es difundido e inexacto cuando se lo aplica a la lógica (para la cual nunca estuvo destinado), el simbolismo lógico es absolutamente necesario para todo tratamiento exacto o completo de nuestro tema”, afirma Bertrand Russell (en Copi, 357).

 

FINALIDAD DE LA LÓGICA

 

Las bases elementales de la teoría lógica (que se presentan en el cuadro adjunto) son sencillas, aunque hay mucho más. Son suficientes para comprender su fundamento formal. La lógica dispone su tarea en un plano en el que los signos representan lo que en el habla y en la escritura es imposible representar: solo la forma de las premisas que cumplen relaciones para derivar otras formas o conclusiones verdaderas o falsas. Así, no representa los sonidos ni las letras del lenguaje sino las entidades mentales que intervienen en los razonamientos.

Los signos de la lógica componen un lenguaje especializado diferente al de la conversación. Si este se ocupa de comunicar y expresar ideas y sentimientos, el de la lógica se ocupa en mostrar cómo se deriva el valor de verdad de una proposición a otra. Las piezas que mueve son solo formas llamadas variables, que pueden corresponderse con cualquier contenido. En su silogística Aristóteles (siglo IV a. C.) introdujo el uso de variables, por lo que se le considera fundador de la lógica formal (Łukasiewicz, 18). Pero el lenguaje lógico usado por Aristóteles es diferente al de la lógica formal moderna, pues se ocupa de los términos de las proposiciones, mientras la lógica moderna trabaja con las mismas proposiciones o afirmaciones en las cuales se atribuye un predicado a un sujeto (ver cuadro adjunto con las diferencias entre la lógica de Aristóteles y la moderna). Los lógicos megáricos, en los siglos III a I a. C. fueron quienes iniciaron la lógica de proposiciones, por lo que se les considera iniciadores del cálculo proposicional.

La lógica, pues, no trasmite ideas ni sentimientos y solo muestra, como el álgebra, operaciones posibles entre variables al aplicar constantes: no (¬), y (˄), o (˅), si… entonces (→), todos (Px), alguno (xP). Su finalidad es encontrar medios con los que se pueda garantizar la certeza de las conclusiones. Debe tenerse presente, sin embargo, que este propósito solo es posible si se cumplen a rajatabla los requisitos de esta ciencia, que parte de axiomas o bases que no requieren demostración. Los tres principios que rigen a todos los demás son: el de identidad a=a (a es igual a sí misma), el de no contradicción ¬ (a ˄ ¬a) (no es posible que a y no a) y el principio del tercero excluido a ˅ ¬a (a o no a)).

Fuera de ese campo axiomático no se puede garantizar ninguna verdad desde el punto de vista lógico. En el mismo cálculo formal es frecuente que aparezcan puntos flojos, incertidumbres y paradojas. Por lo que se ha intentado corregir la teoría introduciendo nuevos conceptos, como la teoría de clases, la teoría de descripciones y la teoría de tipos lógicos. También se ha ampliado el campo estricto de la lógica deductiva y se ha ido más allá de los axiomas derivando las llamadas lógicas extendidas o ampliadas, la lógica modal (cuyos valores son la necesidad y la contingencia), y las lógicas más recientes trivalente (con un valor de verdad intermedio entre verdad y falsedad), polivalente (varios valores de verdad), temporal (con un valor tiempo), deóntica (lo prohibido y lo obligatorio), intuicionista (el valor de verdad es la prueba), inductiva (valor de verdad hipotético), vaga o borrosa (valores de verdad aproximados), y otras lógicas marginales.

            Quede claro que no es una ciencia para desentrañar los misterios de la vida y del mundo, pues no es una ciencia fáctica, empírica ni experimental, ni es filosofía. Solo ofrece cierto respaldo a la ciencia teórica, y una herramienta excepcionalmente útil para las tecnociencias. Se ha asociado siempre con la razón, con las coordenadas dentro de las cuales se establecen ciertos límites a la fantasía y la ilusión que anida en toda subjetividad y en toda tarea humana, de científicos y de toda persona. También es un instrumento ideal para describir el funcionamiento de la matemática y para aplicar y aun solucionar problemas sin solución aparente. Pero ha sido fundamental para concebir, poner en práctica y desarrollar programas computacionales. No encierra ninguna disposición, ninguna verdad, ninguna ley que pudiera suministrar beneficios directos a la humanidad, felicidad o alguna clase de garantía de vida. Es una ciencia ancilar, pero, con toda felicidad, presta un servicio inmenso a nuestra época. Si es una sirvienta del conocimiento, es también un mandatario exigente que da órdenes precisas a la era tecnológica que es la nuestra.

LOS “PRINCIPIA”

 

Los Principia Mathematica constituyen una explicación de conjunto de las relaciones matemáticas mediante la lógica (establecida con simbología más o menos sencilla). Ofrece la posibilidad de rastrear el mayor número de operaciones en el campo de las matemáticas, y desarrolla exhaustivamente un sistema de lógica pretendidamente completo mediante el despliegue de todos los recursos proposicionales y cuantificacionables en un campo estricto de normativa lógica (es de tener en cuenta que no es la única obra con este propósito y tales características). No un tratado de lógica, aunque para los especialistas lo sea, ni el mapa histórico de la lógica (aunque para los historiadores lo sea) ni una introducción a la ciencia de la lógica (aunque sea la obra que introdujo a la lógica en la modernidad histórica).

            Desde 1900 y con Los principios de la matemática (también de 1903) Russell se había abocado a demostrar la identidad entre la aritmética y la lógica pura (Kneale, 610). Para ello necesitaba superar algunas paradojas de la lógica entonces vigente, por lo que inventó la Teoría de los Tipos Lógicos. ¿Cuáles eran las paradojas y en qué consiste la solución de Russell? Citemos un ejemplo famoso y sencillo, la “paradoja del mentiroso”. Se llama así a toda expresión que se niega a sí misma, por ejemplo, “esta oración es falsa” (si es verdadera, entonces es falsa, y si es falsa, entonces es verdadera). Una paradoja famosa es la de un cretense que afirma: “todos los cretenses son mentirosos”. Si todos los cretenses son mentirosos, entonces lo que dice este cretense no puede ser verdadero.

Hacia 1901 Russell se enteró de las contradicciones de la teoría de conjuntos de Georg Cantor, y se propuso resolverlas mediante la remisión a diferentes clases o tipos en los que se puede contener una propiedad: la propiedad de ser el individuo de una clase, las propiedades de un individuo, las propiedades de una propiedad, y así sucesivamente (individuo puede ser cualquier contenido significativo, clase puede ser cualquier conjunto que contenga a un individuo, a varios o a ninguno, clase vacía). Quiso terminar con esos “círculos viciosos” y advertir que “lo que presupone el todo de una colección no debe formar parte de la colección”, dilucidación crucial.

La astucia de esta teoría radica en afirmar el concepto de “clase” entendido como algo matemáticamente indiscutible, sin importar su existencia o estatus ontológico. Así surge que “la clase es de más elevado tipo que sus elementos”, por lo que no se puede atribuir propiedades del elemento a la clase. Es contradictorio atribuir (predicar) a la clase de los mentirosos, por ejemplo, lo que se atribuye a solo uno de los mentirosos. Russell distingue entre clase y concepto-clase; por ejemplo, “hombre” es un concepto, y “hombres” es la clase a la que se refiere el concepto. Pero, se ha dicho que esta teoría es algo vaga y así se ha criticado a Russel y Whitehead, al sostener que procedieron mediante un recurso irreal o imaginario en los Principia (esto es habitual entre los lógicos duros).

No se viene abajo la solidez de los Principia por estas razones, ni mucho menos. El problema es otro y, ha sido señalado por Alfred Tarski, un destacadísimo lógico polaco, exiliado en Estados Unidos a raíz de la invasión nazi. La obra de Russell y Whitehead, afirma Tarski, “Contiene una presentación sistemática y exhaustiva de un extenso sistema de lógica que constituye una base adecuada para los fundamentos de la matemática; sin embargo, el desarrollo no está a la altura de los estrictos requisitos de la metodología actual. El trabajo está preponderantemente escrito en lenguaje simbólico y su extensión es abrumadora. Aunque sólo sea por estas razones técnicas, dudaríamos de persuadir al lector intentar un estudio completo de esta obra (a menos que esté especialmente interesado en el desarrollo histórico de la lógica moderna).” (Tarski, 274)

            Tarski da en el clavo por lo que atañe a un lector no avezado. El texto de los Principia no puede leerse, en el sentido corriente de esta palabra; en realidad, es necesario calcularlo, deducir cada línea de la anterior y, además, estar atento a qué propósito responde cada una, a qué recurso deductivo apela, qué orden de cálculo lógico aplica, qué reglas, definiciones y teoremas. No es para quien sea ajeno al lenguaje de la lógica, a una forma de “leer” que no es la misma que la de leer el diario o un cuento. De todos modos, por dificultades que sean, no vuelven imposible advertir el papel decisivo que le toca en la historia de la lógica, la filosofía y la matemática.

            Los Principia significan la posibilidad de formalizar lógicamente la teoría desarrollada por Georg Cantor entre 1874 y 1897. Aparecía como “una nueva disciplina matemática conocida bajo el nombre de teoría de conjuntos” que “conquistó la apasionada admiración de muchos matemáticos y concitó la apasionada condena de otros tantos” (Kneale, 405). La obra permitió admitir entre los entendidos que la lógica es un sistema deductivo completo. No despreciaba la lógica anterior, pero esta vez se presentaba como un sistema axiomático independiente. Cabe mencionar como antecedente, además de la obra de los europeos mencionados, la vertiente semiótica de Charles Sander Peirce en Estados Unidos.

 

ALGUNAS CONSECUENCIAS

 

Whitehead y Russell fueron los principales, aunque no únicos, responsables de la importante actividad de la lógica formal y deductiva de las primeras décadas del siglo XX. En 1934 el alemán Gerhard Gentzen concibió “un sistema de reglas para la deducción” que consistía en una presentación “más natural que la de Frege, Whitehead y Russell”, aunque incrementaba el número de reglas y axiomas (Kneale, 501).

En p → q, ¿acaso es suficiente con p para inferir o concluir q? Esta pregunta tiene que ver con el surgimiento de nuevas lógicas modales y rectificaciones, como las de Clarence Irving Lewis, o como la objeción de Kurt Gödel según la cual, para decirlo de una manera juguetona, serrucha las patas de la silla en la que se sentaba la lógica deductiva hasta entonces. Gödel llega a demostrar la incompletud de los Principia, y de cualquier sistema deductivo, donde “incompletud” quiere decir imposibilidad de prescindir de algún recurso ajeno al sistema para consagrarlo como estrictamente lógico-deductivo. Gödel estaba preocupado, como cualquier hijo de vecino, por la seguridad del barrio.

              Se ha dicho que algunas manifestaciones de la lógica formal son fronterizas con la metafísica, incluida la teoría de los Tipos de Russell, aunque quizá no la teoría de las Descripciones (que distingue entre nombre y descripción; descripción es, por ejemplo, “el autor de Los adioses”, nombre es Juan Carlos Onetti). Porque, como lo demuestran cabalmente los Principia, el carácter de logicidad específico (filosófico y científico) radica en el sistema de relaciones de acuerdo a cualquier referencia concreta o abstracta que pueda imaginase. Por lo que el lógico suizo Ferdinand Gonseth habló de la lógica como de “la lógica del objeto cualquiera”.

            “Por lo pronto, Gonseth distingue con todo vigor entre reglas de esa técnica mental y el subsuelo ideológico sobre el cual se construye. El sentido de dichas ideas solo se manifiesta en sus modos de realización; pero es lo informulado lo que informa lo formulado, según su propia terminología. Es decir, la metafísica guía y domina la estructura lógica. De ahí que la comprensión rigurosa de una lógica cualquiera del pasado requiera penetrar –¡difícil tarea!– por ese ‘conjunto inextricable, cuya íntegra trasmisión de un siglo a otro es propiamente imposible’. Esta mutua impenetrabilidad espiritual parece contradecir el hecho innegable de la normal permanencia de las reglas.” (Granell, 360)

            Esto quiere decir, y en alguna medida siguiendo los pasos de Gödel, que el fundamento último de la lógica descansa sobre bases no comprobables fehacientemente si el investigador se limita a las herramientas propias de demostración dentro del propio sistema. Uno de los ejemplos más conocidos con lo que se ilustra esta posibilidad es el de la geometría. “Las nociones fundamentales de la geometría –afirma Gonseth– son abstractos del mundo de los fenómenos físicos, y, sin embargo, no hay una sola que esté realizada en el mundo físico ‘en su pureza’. No hay arista perfectamente recta, superficie suficientemente plana, etcétera, en la naturaleza” (ib., 361).

            El punto al cual conduce la recta trazada desde los Principia de Russell y Whitehead es el de las aplicaciones prácticas de la lógica borrosa (fuzzy logic) que inundó el campo de la tecnología en el siglo pasado y que se perfecciona incesantemente hasta el día de hoy. Se trata, paradójicamente, de una desviación notable del canon defendido en los Principia. En el Prefacio los autores escriben: “hemos rehusado tanto la polémica como la filosofía general, de modo que presentamos nuestras exposiciones de una forma dogmática” (R. & W., 7). Lo que quiere decir que todo el marco teórico de la obra se cierne estrictamente a los principios fundamentales de la lógica deductiva, sin concesiones.

 

UNA AUTOVALORACIÓN

 

Bertrand Russell se ocupa de hacer una revisión de sus ideas en 1959 con estas palabras: “El objeto primario de Principia Mathematica fue mostrar que toda la matemática pura se sigue de premisas puramente lógicas, y que emplea solamente conceptos definibles por medio de términos lógicos […] en el transcurso del tiempo, el libro se desarrolló en dos direcciones distintas. Del lado matemático, nuevos temas completos salieron a luz, que implicaban nuevos algoritmos que hicieran posible el tratamiento simbólico de materias abandonadas antes a la dispersión e inexactitud del lenguaje ordinario. Del lado filosófico, hubo dos desarrollos opuestos: uno agradable y otro desagradable. El agradable fue que el aparato lógico requerido resultó ser menor de lo que yo había supuesto […] El aspecto desagradable fue, sin duda, muy desagradable. Resultaba que, de premisas que todos los lógicos, no importa de qué escuela, habían aceptado siempre, desde los tiempos de Aristóteles, podían deducirse contradicciones, demostrándose en ello que algo estaba fuera de lugar, pero sin hacer indicación de cómo podían enderezarse las cosas. Fue el descubrimiento de una de tales contradicciones lo que puso fin, en la primavera de 1901, a la luna de miel lógica que había venido disfrutando. Comuniqué la desgracia a Whitehead, que no pudo consolarme citando ‘nunca de nuevo una mañana alegre y confiada’.” (Russell, 1976, 76)

            Russell se vio afligido por el descubrimiento de que la teoría de conjuntos de su admirado Cantor, que él recogía en Los principios de la matemática, por entonces en prensa, conducía a paradojas. Se presentaba la necesidad urgente de resolver esas paradojas antes de publicar el libro. Planteó el problema en términos de clases: “una clase es a veces, y a veces no es, un miembro de sí misma”. La clase de las cucharillas no es una cucharilla, pero la clase de las cosas que no son cucharillas tampoco es una cucharilla, lo que resulta una paradoja. “Si es un miembro de sí misma, debe poseer la propiedad definitoria de la clase, que es no ser un miembro de sí misma. Si no es un miembro de sí misma, no debe poseer la propiedad definitoria de la clase, y por tanto debe ser miembro de sí misma. Así, cada alternativa conduce a la contraria, y hay una contradicción” (ib., 77). Este es el final de la luna de miel, cuya causa tratará de enmendar en los Principia.

            En Los principios de la matemática Russell distingue entre la noción de intensión o contenido, que atañe a la filosofía, y la noción de extensión, que atañe a la matemática (todo lo que cae dentro de una clase). Ahora bien, “hay posiciones intermedias entre la intensión y la extensión puras, y es en ellas donde la Lógica simbólica tiene sus lares.” (Russell, 1977, 98) Como ya vimos, es posible diferenciar “hombre” como concepto y “hombres” como la clase a la que se refiere el concepto. Hay un contenido conceptual y una relación cuantitativa comprendida en todos los hombres. Pero, entonces, ¿a cuál de estas distinciones es posible atribuir predicados? Es claro que en lógica y en matemática es de atribuir predicados a las extensiones. Las clases lógicas son clases extensionales, y Russell se había familiarizado con esta certidumbre gracias a Frank P. Ramsey (Russell, 1976, 127), lógico inglés cuya temprana muerte a los 26 años impidió que diera feliz término a sus importantes trabajos.

Russell creía que el conocimiento se basa en la inferencia, y que si no se dispone en base a la inferencia es solo contenido mental, carente de garantías para corresponderse con la verdadera realidad del mundo (Russell, 1950, 273). Es tan lógica la filosofía de Russell que vino a llamarse “empirismo lógico” y también “positivismo lógico” (o neopositivismo). Sin embargo, a lo largo de su desarrollo se atuvo a diferentes posturas y atendió los problemas de la filosofía más allá de la lógica deductiva estricta.

 

FILOSOFÍA DE LA INFERENCIA

 

En los Principia Russell y Whitehead celebran una verdadera fiesta dedicada a la inferencia lógica, la que interviene en todas las operaciones posibles de la lógica de proposiciones y predicados. Se trata de la inferencia deductiva, la que parte de la idea según la cual, si las premisas son verdaderas, y la inferencia es una fórmula bien formada (que cumple estrictamente con las leyes y reglas de la lógica), entonces la conclusión también es verdadera. Es un concepto estudiado en diversos contextos, en el plano de la comunicación corriente y en los terrenos exclusivos de la ciencia, la matemática y la lógica. Es una operación mental por la que se parte de determinados datos para llegar a una conclusión. Pero es necesario especificar cómo se llega a ella. En la lógica actual la inferencia está sujeta a un conjunto de reglas específicas que la gobiernan.

De estas reglas es filosóficamente importante lo siguiente: una inferencia puede ser satisfactoriamente demostrativa de la verdad o falsedad de una conclusión, o solo puede ser medianamente satisfactoria. Esto quiere decir que puede tratarse de una demostración deductiva, cuyo resultado es, una de dos, verdadero o falso, y también puede ser una demostración cuyo resultado es una verdad solo aproximada, con un grado de verdad y otro grado de verdad incierta, hipotética, solo probable.

Al estudiar el uso de la inferencia en los contextos cotidianos, Russell advierte que “todas las inferencias empleadas, tanto por el sentido común como por la ciencia, son de especie distinta a las empleadas por la lógica deductiva, y de tal naturaleza que, cuando las premisas son verdaderas y correcto el razonamiento, la conclusión es solamente probable” (Russell, 1976, 199). De modo que llamó “inferencia no demostrativa” a esa clase de inferencia que no ofrece total garantía en cuanto a su valor de verdad. Por este antecedente se ha entendido que Russell es el “abuelo” de la lógica borrosa, una rama tecnológica de la lógica informal. Sus padres fundadores son varios, entre ellos, Max Black y Lofti Zadeh, pero sólo fue posible a partir de la obra de Jan Łukasiewicz, eminente lógico de la escuela polaca.

Finalmente, se llegó a derivar de la inferencia hipotética las mencionadas lógicas no estrictamente deductivas llamadas divergentes. Hoy son de una enorme importancia para los lenguajes de computación y los lenguajes que gobiernan programas capaces de adaptar la operativa de un dispositivo en el mismo curso de la ejecución, lo que ha facilitado el perfeccionamiento de la inteligencia artificial. De este modo, lo que podría llamarse “mente de un robot”, en gran parte, es el resultado de aplicar programas de lógicas divergentes en un muñeco que imita ciertas conductas humanas. Así como la lógica formal y deductiva da un salto a partir del esfuerzo de Russell, este hombre también facilita la aparición de las lógicas informales cuyas características teóricas vislumbró y anunció luego de consagrados los Principia. Pero, para terminar, digamos dos palabras sobre el fin último de este libro de lógica.

Ningún libro de filosofía tiene una finalidad demasiado precisa, aunque este no sea de filosofía estricta. Sin embargo, este libro de lógica puede ayudar a que las ideas se produzcan en la mente de manera más favorable a los fines del razonamiento, asistir a la intuición “en regiones demasiado abstractas para que la imaginación pueda ofrecer a la mente la verdadera relación que existe entre las ideas empleadas” (W. & R., 1981, 55). Si bien Russell deseaba desembarazarse de las ambigüedades del lenguaje común, también estaba atento a las emergencias de la imaginación y la intuición. Escribe en 1966: “La cuestión de la idea que la gente tiene cuando usa una palabra pertenece a la psicología; por otra parte, hay muy poco en común entre las ideas que dos personas diferentes ligan a una misma palabra, aunque frecuentemente habrá más acuerdo acerca de las ideas que considerarían apropiado unir a las palabras.” (Russell, 1979, 214)

 

 

REFERENCIAS

 

ARISTÓTELES (1981). Tratados de Lógica (el Organon), edición de Fco. Larroyo, México, Porrúa.  

COHEN, Morris R. (1957). Introducción a la lógica, México, FCE.

COPI, Irving M. (1978). Introducción a la lógica, Buenos Aires, EUDEBA.

GRANELL, Manuel (1949). Lógica, Madrid, Revista de Occidente.

KNEALE, William y Martha (1980). El desarrollo de la lógica, Madrid, Tecnos.

ŁUKASIEWICZ, Jan (1977). La silogística de Aristóteles, Madrid, Tecnos.

RUSSELL, Bertrand (1976). La evolución de mi pensamiento filosófico, Madrid, Alianza.

RUSSELL, Bertrand (1977). Los principios de la matemática, Madrid, Espasa-Calpe.

RUSSELL, Bertrand (1979). Ensayos filosóficos, Madrid, Alianza.

RUSSELL, Bertrand (1950). El conocimiento humano, Madrid, Revista de Occidente.

TARSKI, Alfred (1968). Introducción a la lógica y a la metodología de las ciencias deductivas, Madrid, Espasa-Calpe.

WHITEHEAD, A. y RUSSELL, B. (1981). Principia Mathematica (hasta el § 56), Madrid, Paraninfo.

 

 

ANEXO I: EL LENGUAJE DE LA LÓGICA

 

Las proposiciones (oraciones del lenguaje común) en lógica se representan con letras (p, q, x, z, llamadas variables), y las relaciones que pueden guardar entre ellas se representan con signos (llamados constantes), que se corresponden con la igualdad (=), la negación (¬), la conjunción (˄), la disyunción (˅) y la implicación (→). Los símbolos de estas relaciones entre proposiciones se llaman juntores¸ por lo que se llama lógica de juntores o proposicional a esta rama de la lógica.

La relación entre dos proposiciones, por ejemplo, “Si sale el sol iré de paseo”, se puede representar mediante la implicación “si sale el sol (p) entonces (→) iré de paseo (q)”; o con solo la fórmula: p → q. Esto no significa que p sea verdadera; solo significa que, si p es verdadera, q también es verdadera. La lógica se ocupa de establecer cuándo resultan proposiciones verdaderas y cuándo resultan proposiciones falsas al relacionarse secuencialmente unas con otras, pues para ella solo existen dos valores de verdad.

Su tarea no es agrupar las que son verdaderas o falsas, lo que sería una tarea de nunca acabar, sino establecer cuáles son las relaciones o cálculos lógicos que garantizan la verdad o la falsedad. No se ocupa de los contenidos de las proposiciones, es decir, de sus significados, como se ocupa la gramática y la lingüística, sino de las combinaciones posibles que dan lugar a conclusiones verdaderas o falsas; se ocupa solo de la sintaxis.

              También se atiene a los predicados en tanto designan propiedades de los sujetos. Pero no los toma agrupando todas las propiedades posibles, pues sería una tarea sin fin. Solo se ocupa de señalar cuándo un sujeto, que se representa con una letra minúscula, tiene una propiedad que se representa con una letra mayúscula. De modo que P(x) indica que x cumple la propiedad P.

Esta parte de la lógica se llama lógica de predicados o de cuantores. E cuantor llamado generalizador establece que todo x cumple una propiedad P, y el cuantor llamado particularizador, establece que hay al menos un x tal que cumple P. Que “todas las flores son bellas”, por ejemplo, se expresa con P(x), es decir, que todas las x (flores) cumplen P (ser bellas). Esta lógica puede expresar, también, que hay una flor, o al menos una flor, que es bella, y se escribe: (x)P.

 

ANEXO II: ARISTÓTELES Y LA LÓGICA MODERNA

 

La lógica de Aristóteles tiene antecedentes en Platón y en Eudoxo, pero su desarrollo formal o silogística es una novedad en su época, pues introduce la noción de silogismo. Aristóteles explica que “El silogismo es un enunciado en el cual se asientan varias proposiciones deduciendo necesariamente alguna otra proposición diferente de las asentadas, por la sola razón de haber sido asentadas las primeras.” Las proposiciones a la cuales se refiere contienen términos: “Llamo término al elemento de la proposición, es decir, al atributo y al sujeto al cual es atribuido…” (Primeros Analíticos, Libro I, cap. 1, §§ 8 y 7, respectivamente)

              “Todo silogismo aristotélico consta de tres proposiciones llamadas premisas. Una premisa es un enunciado que afirma o deniega algo de algo. En este sentido la conclusión es asimismo una premisa, puesto que establece algo acerca de algo. Los dos elementos involucrados en una premisa son su sujeto y su predicado. Aristóteles les llama términos, definiendo un término como aquello en que se resuelve la premisa.” (Łukasiewicz, 15) Solo resta agregar que cada premisa consta de dos términos, uno de los cuales entre todos no figura en la conclusión. El siguiente es un ejemplo del mismo Aristóteles (Segundos Analíticos, Libro II, cap. 16, § 4):

 

              1ª premisa: Si todas las plantas de hoja ancha son caducas

              2ª premisa: y todas las parras son plantas de hoja ancha,

              Conclusión: entonces todas las parras son caducas.

 

              El silogismo no se aplica a proposiciones que contengan términos singulares (una planta, una parra, una planta de hoja ancha) y solo trabaja con términos universales (todas las plantas, todas las parras). Se debe a que en el silogismo el mismo término es usado como sujeto y también como predicado, y ello solo se puede asegurar cuando los términos son universales (no se puede inferir de “si una planta es de hoja ancha” que “todas las plantas son de hoja ancha”, y no tiene lógica, al revés, afirmar “si todas las plantas son de hoja ancha, entonces hay una planta de hoja ancha”. Esta es una diferencia importante con la lógica moderna, que maneja proposiciones singulares. Además, la moderna establece el cálculo cuantificacional en el cual se atribuyen a los sujetos determinadas propiedades, sean sujetos universales o particulares.

Aristóteles también introduce el uso de variables, una innovación que a él le parece natural y, por lo tanto, no define en ningún lugar. Fue Alejandro de Afrodisia, uno de sus comentaristas antiguos, quien explica el significado de este concepto: “Aristóteles presentó su doctrina a través de letras con el fin de mostrar que no obtenemos la conclusión como consecuencia de la materia de las premisas [de sus significados] sino como consecuencia de su forma y combinación” (Łukasiewicz, 18).

En vez de usar palabras y oraciones del lenguaje, Aristóteles usa letras, simplificando el silogismo y demostrando que las variables pueden referirse a cualquier serie de proposiciones. En el ejemplo de arriba, si A es caduco, B planta de hoja ancha y C parra, el silogismo se representa así: Si A es predicado de todo B y B predicado de todo C, entonces A es predicado de todo C. También, Aristóteles sustituye el “por lo tanto” de la filosofía anterior por el “entonces”, que equivale al moderno “si … entonces…” (implicación), que no es una afirmación indicativa sino un condicional. Además, es notoria otra propiedad de los silogismos: “A tiene que ser predicado de todo C”, en donde la palabra “tiene” es el signo de la necesidad silogística (ib., 20), propiedad fundamental de la lógica antigua y moderna.

Sin embargo, y es la razón de por qué en el siglo XX se desplaza a Aristóteles del centro de interés de la lógica formal, la silogística tiene limitaciones importantes; una ya la señalamos: el solo uso de proposiciones universales. Otra es que no cumple con los requisitos de la formalización lógica. Aristóteles quiere descubrir las leyes del pensamiento, pero no hay tales leyes. La lógica moderna, en cambio, no descubre leyes que puedan gobernar el pensamiento y solo establece leyes para un sistema que sortea contradicciones, ambigüedades y paradojas.

Para Aristóteles “solo pertenecen a la lógica las leyes silogísticas expuestas mediante variables, pero no su aplicación a términos concretos” (ib., 22). No guardan relación estricta con el pensamiento en general. Las proposiciones lógicas no se relacionan entre sí por sus intensiones (con “s” = contenidos, significados) sino por sus extensiones (en qué sujetos cae la predicación). En Aristóteles se reducen a las proposiciones universales. Los términos de las premisas se disponen de diferentes maneras llamadas figuras: primera figura, segunda, tercera, cuarta figura. Estas figuras son rígidas y no abarcan todas las combinaciones posibles entre proposiciones. En la lógica moderna las variables se identifican según representen “individuos” o “clases” de individuos. Una distinción muy importante es la de variable “libre” (ej.: “x es un libro”, donde x es una variable libre), y variable “aparente” (ej.: “para todo x, x es un libro”, donde x es una variable aparente).